¿Qué es la distribución de Fermi Dirac? Diagrama de bandas de energía y aproximación de Boltzmann

¿Qué es la distribución de Fermi Dirac? Diagrama de bandas de energía y aproximación de Boltzmann

Electrones y agujeros juegan un papel fundamental en la transferencia de electricidad en semiconductores . Estas partículas están dispuestas a un nivel de energía diferente en un semiconductor. El movimiento de electrones de un nivel de energía a otro. genera electricidad . Un electrón dentro del metal debe poseer un nivel de energía que sea al menos mayor que la energía de barrera de la superficie para escapar a un nivel de energía más alto.

Fueron muchas las tesis propuestas y aceptadas que explican las características y el comportamiento de los electrones. Pero algún comportamiento de los electrones, como la independencia de la corriente de emisión con respecto a la temperatura, etc., sigue siendo un misterio. Luego, unas estadísticas revolucionarias, Estadísticas de Fermi Dirac , publicado por Enrico Fermi y Paul Dirac en 1926 ayudó a resolver estos acertijos.


Desde entonces Distribución de Fermi Dirac se está aplicando para explicar el colapso de una estrella a una enana blanca, para explicar la emisión de electrones libres de metales, etc.



Distribución de Fermi Dirac

Antes de entrar en el Función de distribución de Fermi Dirac miremos la energía distribución de electrones en varios tipos de semiconductores. La energía máxima que puede tener un electrón libre en un material a temperatura absoluta. a 0k se conoce como nivel de energía de Fermi. El valor de la energía de Fermi varía para diferentes materiales. Según la energía que poseen los electrones en un semiconductor, los electrones se organizan en tres bandas de energía: banda de conducción, nivel de energía de Fermi, banda de valencia.

Mientras que la banda de conducción contiene electrones excitados, la banda de valencia contiene huecos. Pero, ¿para qué significa el nivel de Fermi? El nivel de Fermi es el estado de energía que tiene una probabilidad ½ de estar ocupado por un electrón. En términos simples, es el nivel máximo de energía que puede tener un electrón a 0k y la probabilidad de encontrar el electrón por encima de este nivel a temperatura absoluta es 0. A temperatura de cero absoluto, la mitad del nivel de Fermi estará lleno de electrones.

En el diagrama de bandas de energía del semiconductor, el nivel de Fermi se encuentra en el medio de la banda de conducción y valencia de un semiconductor intrínseco. Para semiconductores extrínsecos, el nivel de Fermi se encuentra cerca de la banda de valencia en Semiconductor tipo P y para Semiconductor tipo N , se encuentra cerca de la banda de conducción.


El nivel de energía de Fermi se denota por ESF, la banda de conducción se denota como ESC y la banda de valencia se denota como EV.

Nivel de Fermi en tipos N y P

Nivel de Fermi en tipos N y P

Nivel de Fermi en semiconductores tipo N y P

Función de distribución de Fermi Dirac

La probabilidad de que el estado de energía disponible 'E' sea ocupado por un electrón a temperatura absoluta T bajo condiciones de equilibrio térmico está dada por la función de Fermi-Dirac. De la física cuántica, la expresión de distribución de Fermi-Dirac es

Donde k es la constante de Boltzmann en OA , T es la temperatura en 0A y ESF es el nivel de energía de Fermi en eV.k = 1.38X10-23J / K

El nivel de Fermi representa el estado de energía con un 50% de probabilidad de ser llenado si no existe una banda prohibida, es decir, si E = EF entonces f (E) = 1/2 para cualquier valor de temperatura.

La distribución de Fermi-Dirac solo proporciona la probabilidad de ocupación del estado a un nivel de energía dado, pero no proporciona ninguna información sobre el número de estados disponibles en ese nivel de energía.

Diagrama de distribución y banda de energía de Fermi Dirac

Parcela Fermi Dirac

f (E) Vs (E-EF) trama

El gráfico anterior muestra el comportamiento del nivel de Fermi en varios rangos de temperatura. T = 00K, T = 3000K, T = 25000A. A T = 0 K , la curva tiene características escalonadas.

A T = 00A , el número total de niveles de energía ocupados por electrones se puede conocer mediante la función de Fermi-Dirac.

Para un nivel de energía dado E> EF , el término exponencial en la función de Fermi-Dirac se convierte en 0 y lo que significa que la probabilidad de encontrar el nivel de energía ocupado es mayor que ESF es cero.

Para un nivel de energía dado ESF cuyo valor significa que todos los niveles de energía con energía son menores que el del nivel E de FermiFestará ocupado en T = 00A . Esto indica que el nivel de energía de Fermi es la energía máxima que puede tener un electrón a la temperatura del cero absoluto.

Para temperaturas superiores a la temperatura absoluta y E = EF , luego independiente del valor de temperatura.

Para temperaturas superiores a la temperatura absoluta y ESF , entonces el exponencial será negativo. f (E) comienza en 0,5 y tiende a aumentar hacia 1 a medida que E disminuye.

Para temperaturas superiores a la temperatura absoluta y E> EF , la exponencial será positiva y aumentará con E. f (E) comienza desde 0.5 y tiende a disminuir hacia 0 a medida que E aumenta.

Aproximación de Boltzmann de distribución de Fermi Dirac

La distribución de Maxwell-Boltzmann es la más utilizada Aproximación de la distribución de Fermi Dirac .

La distribución de Fermi-Dirac está dada por

Por usando Maxwell - Aproximación de Boltzmann la ecuación anterior se reduce a

Cuando la diferencia entre la energía del portador y el nivel de Fermi es grande en comparación con, se puede despreciar el término 1 en el denominador. Para la aplicación de la distribución de Fermi-Dirac, el electrón debe seguir el principio de exclusividad de Pauli, que es importante en niveles altos de dopaje. Pero la distribución de Maxwell-Boltzmann ignora este principio, por lo que la aproximación de Maxwell-Boltzmann se limita a casos poco dopados.

Estadísticas de Fermi Dirac y Bose-Einstein

La estadística de Fermi-Dirac es la rama de la estadística cuántica, que describe la distribución de partículas en estados de energía que contiene partículas idénticas que obedecen al principio de exclusión de Pauli. Dado que la estadística F-D se aplica a partículas con espín medio entero, se denominan fermiones.

Un sistema que consiste en termodinámicamente en equilibrio y partículas idénticas, en el estado de una sola partícula I, el número promedio de fermiones viene dado por la distribución F-D como

donde está el estado de una sola partícula I , el potencial químico total se denota por, aB es la constante de Boltzmann mientras que T es la temperatura absoluta.

Las estadísticas de Bose-Einstein son lo opuesto a las estadísticas de F-D. Esto se aplica a partículas con giro entero completo o sin giro, llamadas bosones. Estas partículas no obedecen al principio de exclusión de Pauli, lo que significa que la misma configuración cuántica puede llenarse con más de un bosón.

Las estadísticas F-D y las estadísticas de Bore-Einstein se aplican cuando el efecto cuántico es importante y las partículas son indistinguibles.

Problema de distribución de Fermi Dirac

En un sólido, considere el nivel de energía que se encuentra 0.11eV por debajo del nivel de Fermi. Calcule la probabilidad de que este nivel no esté ocupado por el electrón.

Problema de distribución de Fermi Dirac

Problema de distribución de Fermi Dirac

Esto se trata de Distribución de Fermi Dirac . Finalmente, de la información anterior, podemos concluir que las propiedades macroscópicas de un sistema se pueden calcular usando una función de Fermi-Dirac. Se utiliza para conocer la energía de Fermi en casos de temperatura cero y finita. Respondamos una pregunta sin ningún cálculo, basándonos en nuestra comprensión de la distribución de Fermi-Dirac. Para un nivel de energía E, 0.25e.V por debajo del nivel de Fermi y una temperatura por encima de la temperatura absoluta, ¿la curva de distribución de Fermi disminuye hacia 0 o aumenta hacia 1?